Podstawy - obciążenia

1. Obciążenie skupione i moment skupiony.

Najprostsze z możliwych (do obliczeń) rodzaje obciążenia. Nie powinny sprawiać problemów, bo też trudno sobie wyobrazić stytuację kiedy mogą ją sprawiać. Przykład z obciążeniem skupionym (i tylko z nim) wcześniej na blogu (belka prosta - przykład 1).

Wyjątkiem (czyt. trudniejszym) może być sytuacja gdy przyłożona siła występuje pod kątem. Wtedy z jednej siły musimy zrobić dwie (składowe) i lepiej dobrze znać zasady trygonometrii, bo to wiele ułatwia. Rozkładnie siły pod kątem na składowe i nie tylko w poście - belka prosta - przykład 2.

2. Obciążenie rozłożone (po prostokącie)

Tutaj zaczyna sie zabawa. Dobrze radzę ją polubić ponieważ ten typ obciążenia należy do jednych z ulubionych przez wymyślających zadania, a i w życiu występuje najczęściej.

Mogą występować jego dwa (zasadniczo) wariany. Kiedy występuje siła pionowa (to wariant klasyczny) oraz kiedy rozłożona siła działa pod kątem - wtedy należy ją rozłożyć na składowe, a całe zadnie się nieco komplikuje.

Zajmijmy się jednak pierwszym przypadkiem. Najlepiej na przykładzie. Mamy taką oto belkę:

Nasze obciążenie jak widać wynosi q = 2 kN/m

Nie patrzymy na podpory. Zajmujemy się tylko naszym prostokątem.

Przypominamy sobie wzór na pole prostokąta ;)

Pierwsze co robimy to zamieniamy obciążenie rozłożone na siłę skupioną. Będzie to potrzebne do obliczenie reakcji. Jak to robimy?

• jaką wartość będzie miała nowa siła? - proste! pole prostokąta - patrzymy na małe q jak na wysokość takiego prostokąta. (zamieniamy małe q na duże Q)

zatem: a * b; w naszym przypadku Q = q * 3 = 2 kN * 3 = 6 kN

• gdzie ją umiejscowimy? też proste! - w połowie podstawy (w środku ciężkości figury)

Obciążenie już zamienione. Już można coś z nim zrobić, np. policzyć reakcje.

Możemy już również zabrać się wyznaczanie wartości punktów charakterystycznych na wykresie. UWAGA! Wykres momentu od obciążenia rozłożonego po prostokącie ma kształt paraboli (krzywej drugiego stopnia).

Żeby wyliczyć wszystkie charakterystyczne punkty, wykresu, również w celu obliczenia (w niektórych przypadkach) ekstermum musimy rozpisać tzw. przepis funkcyjny. Brzmi strasznie, jednak nie ma się czego bać. Wystarczy odrobina wprawy, to naprawdę nie jest wysoka matematyka

Krok po kroku o co w tym chodzi.
Wracamy do naszej belki, zakładamy że mamy już policzone reakcje, a nasz schemat statyczny wygląda tak jak poniżej. Następnie "wycinamy" z niego fragment, dla którego chcemy rozpisać przepis funkcyjny.

Z belki "wycinamy" fragment o długość 3 m (bo tyle ma obciążenie rozłożone).

Jak widać będziemy rozpisywać przepis od lewej strony, można oczywiście iść od prawej; robimy to wtedy prawie identycznie (o tym "prawie" przy innej okazji).

Zauważ, że rozpisujemy przepis dla jakiegoś x (iksa). Musimy go jakoś określić. Ponieważ x zastępuje nam odcinek 3 (trzech) metrów nietrudno się domyślić, że nasz x = (0;3) - należy do przedziału od zera do trzech. [mam do dyspozycji tylko ubogi edytor tekstów z bloggera, który nie oddaje większości matematycznych subtelności; postaram się o odpowiednią liczbę komentarzy, aby wszystko było jasne).

Jedziemy:

• Moment 

Przepis funkcyjny dla momentu (dla sił T i N również) to nic innego jak suma momentów z prawej strony naszego przekroju. Musimy odczytać z rysunku znaki momentów od poszczególnych sił (patrz blog). Zakładamy układ prawoskrętny. Widzimy, że moment skupiony równy 21 kręci w prawo, zatem znak plus. Z obciążeniem rozłożonym sprawa nie jest taka skomplikowana na jaką wygląda. W tym przypadku nasze (cały czas) q = 2 kN, a podstawa jest równa x (wcześniej były to 3 m). Widzimy, że w stosunku do prawej krawędzi przekroju siła skupiona od obciążenia rozłożonego będzie kręcić w lewo, zatem znak minus. Samo równanie wygląda tak:

M(x) = 21 - 2 * x *(x/2) = 21 + x^2

Wyjaśnienie. Dlaczego to tak. Moment skupiony zawsze w takich przypadkach po prostu dodajemy (wcześniej oczywiście określamy znak). Obciążenie rozłożone - jeżeli się dobrze przyjrzeć to postępujemy z nim niemal tak samo jak przy wyliczaniu reakcji. Zamieniamy je na siłę skupioną z tą różnicą , że podstawą naszego prostokąta jest x, czyli Q = q * x; punkt przyłożenia wypada (jak wcześniej) w połowie długości podstawy - zatem x/2 (iks przez dwa). Całość jest oczywiście na minusie. 

Gdy mamy tak rozpisane równanie podstawiamy z x wartości, które określiliśmy na początku. Da nam to odpowiedzi na wartość momentu w poszczególnych punktach.

• Siła tnąca

Zasady działania są podobne jak dla momentu. Patrzymy czy mamy już jakąś siłę skupioną (ewentualnie siły skupione) na początku naszego przedziału. W naszym wypadku nie mamy, dlatego bierzemy pod uwagę tylko obciążenie rozłożone.
Ważne aby pamiętać o znakowaniu sił tnących względem przekroju (patrz pierwszy przykład z belki prostej). Siły z lewej strony przekroju są dodatnie kiedy są skierowane do góry; natomiast siły z prawej strony przekroju (jeżeli idziemy od prawej strony) są dodatnie kiedy są skierowane w dół.


Jak w przypadku momentów, również "idziemy od lewej". Obciążenie rozłożone jest skierowane w dół, zatem będzie miało znak ujemny. Dla pełnej jego wartości najwygodniej zebrać je w siłę skupioną (jak na początku przykładu). Zatem równanie sił tnących ma postać:

T(x) = q * x = 2 kN * x

• Siła osiowa

Postępujemy identycznie jak z siłami tnącymi, z jedną różnicą w znakowaniu. W siłach normalnych dodatnie wartości mają siły działające od przekroju. W naszej belce nie ma sił osiowych zatem odsyłam do bloga (belka prosta - przykład 2).


3. Wspornik (klamka)

Kolejne ciekawe utrudnienie w zadaniach, którego jednak nie należy sie bać, a rozwiązywać w mechaniczny sposób, bez wielkich kombinacji (zwłaszcza na początku). Po lepszym pozaniu klamki można zacząć ją rozwiązywać w sposób bardziej trikowy, ale na początku proponuję jej redukcję. Zasady redukcji wspornika nie są skomplikowane.

Po co to robimy? Ano po to, żeby nie musieć belki prostej rozwiązywać jak ramy (mówiąc w największym skrócie).

Weźmy na początek najprostszy układ:

Znowu interesuje nas tylko wspornik i siła umieszczona na jego końcu. Wspornik "styka się" z belką w punkcie A. Przystępujemy do redukcji. Jak na rysunku na dole; najpierw rysunek, potem wyjaśnienie.

Widzimy co się stało. Wspornik (klamka) zniknęła (została zredukowana). Nasza siła równa 4 kN "przechodzi" do punktu A (została po prostu przeniesiona do punktu, w którym wspornik łączył się (wystawał) z belką).

Ponieważ nie można tak bezkarnie przenosić sił w układzie (tyczy się każdego układu, czy to belki, czy ramy, czy kraty) pojawia nam się moment skupiony, również w punkcie A. Ma on na celu zrównoważenie obu układów (przed i po redukcji). Moment powstaje jako efekt przemieszczenia naszej siły do innego punktu. Musimy ustalić jego wartość i znak.

Widzimy, że siła 4 kN działa na ramieniu 2 m (jeśli nie widzimy to odsyłam do posta o momentach). Kierunek działania momentu jest natomiast zgodny z kierunkiem działania siły względem punktu A.

M = 4 kN * 2 m = 8 kNm

Inne kombinacje klamek już bez komentarza, ponieważ zasady działania są takie same.

Możemy mieć również do czynienia z sytuacją gdy na końcu wspornika mamy moment skupiony. Wówczas po prostu go przenosimy i nic więcej się nie dzieje.