belka prosta - przykład 2

W linku poniżej rozwiązanie takiej oto belki. Trudności jakie tu możemy napotkać to redukcja wspornika oraz rozłożenie siły pod katem na składowe.

belka prosta - przykład 2.


Podstawy - obciążenia


1. Obciążenie skupione i moment skupiony.

Najprostsze z możliwych (do obliczeń) rodzaje obciążenia. Nie powinny sprawiać problemów, bo też trudno sobie wyobrazić stytuację kiedy mogą ją sprawiać. Przykład z obciążeniem skupionym (i tylko z nim) wcześniej na blogu (belka prosta - przykład 1).

Wyjątkiem (czyt. trudniejszym) może być sytuacja gdy przyłożona siła występuje pod kątem. Wtedy z jednej siły musimy zrobić dwie (składowe) i lepiej dobrze znać zasady trygonometrii, bo to wiele ułatwia. Rozkładnie siły pod kątem na składowe i nie tylko w poście - belka prosta - przykład 2.

2. Obciążenie rozłożone (po prostokącie)

Tutaj zaczyna sie zabawa. Dobrze radzę ją polubić ponieważ ten typ obciążenia należy do jednych z ulubionych przez wymyślających zadania, a i w życiu występuje najczęściej.

Mogą występować jego dwa (zasadniczo) wariany. Kiedy występuje siła pionowa (to wariant klasyczny) oraz kiedy rozłożona siła działa pod kątem - wtedy należy ją rozłożyć na składowe, a całe zadnie się nieco komplikuje.

Zajmijmy się jednak pierwszym przypadkiem. Najlepiej na przykładzie. Mamy taką oto belkę:

Nasze obciążenie jak widać wynosi q = 2 kN/m
Nie patrzymy na podpory. Zajmujemy się tylko naszym prostokątem.
Przypominamy sobie wzór na pole prostokąta ;)

Pierwsze co robimy to zamieniamy obciążenie rozłożone na siłę skupioną. Będzie to potrzebne do obliczenie reakcji. Jak to robimy?
  • jaką wartość będzie miała nowa siła? - proste! pole prostokąta - patrzymy na małe q jak na wysokość takiego prostokąta. (zamieniamy małe q na duże Q)
zatem: a * b; w naszym przypadku Q = q * 3 = 2 kN * 3 = 6 kN
  • gdzie ją umiejscowimy? też proste! - w połowie podstawy (w środku ciężkości figury)


Obciążenie już zamienione. Już można coś z nim zrobić, np. policzyć reakcje.

Możemy już również zabrać się wyznaczanie wartości punktów charakterystycznych na wykresie. UWAGA! Wykres momentu od obciążenia rozłożonego po prostokącie ma kształt paraboli (krzywej drugiego stopnia).

Żeby wyliczyć wszystkie charakterystyczne punkty, wykresu, również w celu obliczenia (w niektórych przypadkach) ekstermum musimy rozpisać tzw. przepis funkcyjny. Brzmi strasznie, jednak nie ma się czego bać. Wystarczy odrobina wprawy, to naprawdę nie jest wysoka matematyka

Krok po kroku o co w tym chodzi.
Wracamy do naszej belki, zakładamy że mamy już policzone reakcje, a nasz schemat statyczny wygląda tak jak poniżej. Następnie "wycinamy" z niego fragment, dla którego chcemy rozpisać przepis funkcyjny.

Z belki "wycinamy" fragment o długość 3 m (bo tyle ma obciążenie rozłożone).

Jak widać będziemy rozpisywać przepis od lewej strony, można oczywiście iść od prawej; robimy to wtedy prawie identycznie (o tym "prawie" przy innej okazji).

Zauważ, że rozpisujemy przepis dla jakiegoś x (iksa). Musimy go jakoś określić. Ponieważ x zastępuje nam odcinek 3 (trzech) metrów nietrudno się domyślić, że nasz x = (0;3) - należy do przedziału od zera do trzech. [mam do dyspozycji tylko ubogi edytor tekstów z bloggera, który nie oddaje większości matematycznych subtelności; postaram się o odpowiednią liczbę komentarzy, aby wszystko było jasne).

Jedziemy:
  • Moment 
Przepis funkcyjny dla momentu (dla sił T i N również) to nic innego jak suma momentów z prawej strony naszego przekroju. Musimy odczytać z rysunku znaki momentów od poszczególnych sił (patrz blog). Zakładamy układ prawoskrętny. Widzimy, że moment skupiony równy 21 kręci w prawo, zatem znak plus. Z obciążeniem rozłożonym sprawa nie jest taka skomplikowana na jaką wygląda. W tym przypadku nasze (cały czas) q = 2 kN, a podstawa jest równa x (wcześniej były to 3 m). Widzimy, że w stosunku do prawej krawędzi przekroju siła skupiona od obciążenia rozłożonego będzie kręcić w lewo, zatem znak minus. Samo równanie wygląda tak:

M(x) = 21 - 2 * x *(x/2) = 21 + x^2

Wyjaśnienie. Dlaczego to tak. Moment skupiony zawsze w takich przypadkach po prostu dodajemy (wcześniej oczywiście określamy znak). Obciążenie rozłożone - jeżeli się dobrze przyjrzeć to postępujemy z nim niemal tak samo jak przy wyliczaniu reakcji. Zamieniamy je na siłę skupioną z tą różnicą , że podstawą naszego prostokąta jest x, czyli Q = q * x; punkt przyłożenia wypada (jak wcześniej) w połowie długości podstawy - zatem x/2 (iks przez dwa). Całość jest oczywiście na minusie. 

Gdy mamy tak rozpisane równanie podstawiamy z x wartości, które określiliśmy na początku. Da nam to odpowiedzi na wartość momentu w poszczególnych punktach.
  • Siła tnąca
Zasady działania są podobne jak dla momentu. Patrzymy czy mamy już jakąś siłę skupioną (ewentualnie siły skupione) na początku naszego przedziału. W naszym wypadku nie mamy, dlatego bierzemy pod uwagę tylko obciążenie rozłożone.
Ważne aby pamiętać o znakowaniu sił tnących względem przekroju (patrz pierwszy przykład z belki prostej). Siły z lewej strony przekroju są dodatnie kiedy są skierowane do góry; natomiast siły z prawej strony przekroju (jeżeli idziemy od prawej strony) są dodatnie kiedy są skierowane w dół.


Jak w przypadku momentów, również "idziemy od lewej". Obciążenie rozłożone jest skierowane w dół, zatem będzie miało znak ujemny. Dla pełnej jego wartości najwygodniej zebrać je w siłę skupioną (jak na początku przykładu). Zatem równanie sił tnących ma postać:


T(x) = q * x = 2 kN * x
  • Siła osiowa
Postępujemy identycznie jak z siłami tnącymi, z jedną różnicą w znakowaniu. W siłach normalnych dodatnie wartości mają siły działające od przekroju. W naszej belce nie ma sił osiowych zatem odsyłam do bloga (belka prosta - przykład 2).


3. Wspornik (klamka)

Kolejne ciekawe utrudnienie w zadaniach, którego jednak nie należy sie bać, a rozwiązywać w mechaniczny sposób, bez wielkich kombinacji (zwłaszcza na początku). Po lepszym pozaniu klamki można zacząć ją rozwiązywać w sposób bardziej trikowy, ale na początku proponuję jej redukcję. Zasady redukcji wspornika nie są skomplikowane.

Po co to robimy? Ano po to, żeby nie musieć belki prostej rozwiązywać jak ramy (mówiąc w największym skrócie).

Weźmy na początek najprostszy układ:

Znowu interesuje nas tylko wspornik i siła umieszczona na jego końcu. Wspornik "styka się" z belką w punkcie A. Przystępujemy do redukcji. Jak na rysunku na dole; najpierw rysunek, potem wyjaśnienie.

Widzimy co się stało. Wspornik (klamka) zniknęła (została zredukowana). Nasza siła równa 4 kN "przechodzi" do punktu A (została po prostu przeniesiona do punktu, w którym wspornik łączył się (wystawał) z belką).

Ponieważ nie można tak bezkarnie przenosić sił w układzie (tyczy się każdego układu, czy to belki, czy ramy, czy kraty) pojawia nam się moment skupiony, również w punkcie A. Ma on na celu zrównoważenie obu układów (przed i po redukcji). Moment powstaje jako efekt przemieszczenia naszej siły do innego punktu. Musimy ustalić jego wartość i znak.

Widzimy, że siła 4 kN działa na ramieniu 2 m (jeśli nie widzimy to odsyłam do posta o momentach). Kierunek działania momentu jest natomiast zgodny z kierunkiem działania siły względem punktu A.


M = 4 kN * 2 m = 8 kNm

Inne kombinacje klamek już bez komentarza, ponieważ zasady działania są takie same.


Możemy mieć również do czynienia z sytuacją gdy na końcu wspornika mamy moment skupiony. Wówczas po prostu go przenosimy i nic więcej się nie dzieje.

Belka prosta - przykład z objaśnieniami (przykład 1)

Poniżej rozwiązanie elementarnego przykładu belki prostej od A do Z, czyli od zbadania statycznej wyznaczalności do narysowania wykresów sił MTN.

Przykład z objaśnieniami i komentarzami, które kiedyś mi pomogły zrozumieć statykę; miejscami dość łopatologiczne. Ważna rzecz to dobry wykres, a w szczególności wykres momentu.

belka prosta - przykład 1


w razie niejasności, albo baboli dajcie proszę znać :]

Podstawy - moment


Czym właściwie jest moment?

z Wikipedii wiemy, ze to:
"Moment (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F."

Proste jak drut.
A z polskiego na nasze - moment to siła na ramieniu.

1 .Mówiąc jeszcze inaczej to SIŁA RAZY RAMIĘ (i to trzeba sobie wbić do głowy).

M = F * a

Dla zobrazowania momentu przykład z kluczem, który każdy potrafi sobie wyobrazić. Nasza dłoń to siła, klucz jest ramieniem działania naszej siły, a śruba (nakrętka) punktem według którego działamy.

źródło: www.portal.promoto.eu
2. Znak momentu.

Z tym na początku nie jest już tak łatwo. Można łatwo się zaplątać nawet jak sie ma początkową wprawę. Są różne sposoby na początek przygody z momentami - moment zgodny z ruchem wskazówek zegara to plus, a przeciwny to minus. Na tej samej zasadzie działa - moment kręcący w prawo "plus", moment kręcący w lewo "minus".

Należy pamiętać, że kręcenie w prawo lub lewo zawsze określamy względem konkretnego punktu. ZAWSZE dla każdego punktu robimy osobną analizę. Ramię danej siły jest ZAWSZE prostopadłe do jej wektora (prostej działania). Poniżej ilustracja i opis zjawiska.

Mamy dwa wektory zielony i niebieski oraz punkt A.

I teraz uwaga. Patrzysz zawsze na zwrot wektora. Weźmy na początek zielony - jak on kręci względem punktu A? W którą stronę należy go obrócić, żeby był on skierowany dokładnie na punkt A? Oczywiście w prawo.

To działa tak (i niech tak działa w Twojej głowie):

W tym momencie ustalamy tylko (i aż) znak momentu.

Naturalnym jest, że moment kręcący w prawo jest oznaczany jako dodatni, ale nie jest to warunek konieczny. Można to przyjmować indywidualnie, jak komu wygodnie. Warunkiem jest jednak by raz przyjęte znakowanie stosować dla całego układu.

Trzymając się przyjętego (prawoskrętnego) układu, wektor niebieski będzie kręcił w lewo.

Kolejny przykład, tym razem już też z ramieniem siły.

Mamy trzy wektory. Przyjmujemy układ prawoskrętny (czyli wektor kręcący w prawo to plus). Zatem mamy wektor zielony, kręci w lewo, zatem minus; wektor fioletowy również kręci w prawo, zatem też minus. Co natomiast z wektorem niebieskim? Popatrz niżej.

Wektor niebieski działa na prostej, która przechodzi przez punkt A. Co to oznacza? Mówiąc skrótowo wektor niebieski nie ma ramienia. Natomiast mówiąc dokładniej, siła niebieska działa na ramieniu równym zero. Zatem ta siła NIE DA momentu (moment od tej siły jest zerowy).

Spróbujmy zapisać jakieś równanie (bo w końcu do tego zmierzamy). Będzie to suma momentów (od wszystkich sił) w punkcie A; dla porządku siła niebieska to F1, zielona F2, fioletowa F3:

M(A) =  F1*0 - F2*b - F3*c


Podstawy - podpory i połączenia


1. Podpora przegubowo przesuwna.

Odbiera naszemu układowi (belce, ramie czy kracie) jeden stopień swobody (jena więź elementarna); pojawia się w niej jedna reakcja.


UWAGA: po lewej pozostałe stopnie swobody
po prawej: reakcja pionowa (zawsze prostopadła do podstawy naszego trójkąta)

Stopnie swobody pokazują w jaki sposób nasz zaczepiony do danej podpory układ (przedmiot) może się poruszać. W tym wypadku widzimy, że nasza podpora zapewnia ruch w poziomie oraz możliwość swobodnego obracania się.


2. Podpora przegubowo nieprzesuwna

Likwiduje dwa stopnie swobody układu (zawiera dwie więźi elementarne); występują w niej dwie reakcje.


Ta klasyczna podpora pozostawia jako stopień swobody moment, a reakcje są w pionie i w poziomie.

3.Utwierdzenie sztywne.

Obiera układowi trzy stopmnie swobody (zawiera trzy więźi elementarne); występują trzy reakcje.

Jak widać (mam nadzieję) w takiej podporze nie ma ani jednego stopnia swobody, zatem nic się nie rusza.
Reakcje pionowa, pozioma i momentowa.

4. Przegub.

Występuje jako połączenie dwóch elementów (najczęściej dwóch prętów lub tarcz). W przegubie występują reakcje pionowe i poziome - co za tym idzie przekazywane są siły Tnące i Normalne (osiowe). Jako stopień swobody pozostaje moment, a w związku z tym suma momentów w przegubie jest równa 0 (zero).
Jeżeli przegub występuje na połączeniu jakiejś tarczy z ostoją to jest równoznaczny z podporą przegubowo nieprzesuwną.

5. Łyżwa

To podpora i połączenie bardziej teoretyczne, wymyślone do męczenia studentów. Łyżwa odbiera dwa stopnie swobody i zawsze jedną z nich jest reakcja momentowa (inaczej niż przy podporze przegubowo nieprzesuwnej) oraz reakcja pozioma lub pionowa (czasami ukośna) - w naszym pierwszym przypadku pionowa.

Powyżej łyżwa jako połączenie tarczy z ostoją.
Poniżej połączenie za pomocą łyżwy dwóch tarcz (prętów)


Podstawy - belka, rama, krata


Podstawy - belka, rama, krata

Dobrze wiedzieć co sie na kartce rysuje i co sie liczy (dobrze wiedzieć po co? - ale z tym akurat to nie tutaj;)). Rysujemy belki, ramy i kraty - ale co to u diabła jest? Jak wygląda w rzeczywistości i czy ma zastosowanie?

Oto kilka obrazków, które pokażą, że gdzie nie spojrzysz to zobaczysz: tu belkę, tam kratę a tam ramę. Po jakimś czasie na zwykłym spacerze, czy w drodze na przystanek będziesz widział te elemetny i w myślach układał schemat obliczeniowy (no może troszkę przesadziłem)

1. Belka

Podstawowy element, który najłatwiej sobie wyobrazić. Może być stalowa, żelbetowa, betonowa, derwniana etc. Również jej kształty/przekroje mogą być bardzo różne: przekrój kwadratowy, prostokątny, kołowy, trójkątny, a także belka w kształcie ceownika, dwuteownika, teownika, zetownika.


Od góry od lewej mamy: belkę stropu Teriva, nadproże żelbetowe, belkę stalową o układzie kratowym, belkę żelbetową.

2. Ramy

Składają się z belek, czy kratownic oraz wzajemnych połączeń między nimi. Stosunkowo rzadziej spotykane niż belki czy kraty. Najłatwiej wyobrazić je sobie w konstrukcjach dachów, czy konstrukcji halowych.


Pierwszy z przedstawionych obrazków to rama przestrzenna (jak zresztą wszystkie tutaj zamieszczone) żelbetowa; pozostałe to konstrukcje stalowe.

3. Kraty (kratownice)

Elementy o charakterystycznej budowie, który każdy widział już będąc dzieckiem bądź stosował grając w Pontifexa. Najbardziej widoczne w konstrukcjach mostów, ale też popularne jako belki przy budowie stropów.

Łatwo zauważyć, że wyjściowym elementem każdej kratownicy są trzy pręty (belki) połączone w trójkąt (najczęściej) co zapewnia GN układu (mówiąc bardzo ogólnie). Kilka takich trójkątów tworzy kratownicę płaską, która następnie jest łączona z innymi i tworzy klasyczną kratownicę przestrzenną.

Nie taki Chrobok straszny...

Pierwsze przedmioty prawdziwie budowlane (konstrukcyjne) na studiach to często zderzenie z lokomotywą, a gdy się jeszcze źle trafi prowadzącego to zderzenie z całym pociągiem. Problemu tego się nie przeskoczy, a jedyna rada to praca, praca i jeszcze raz praca nad zadaniami, przykładami i projektami. TO miejsce ma na celu ułatwienie tej pracy (nauki) każdemu kto tylko ma do budownictwa choć trochę zacięcia. MO i PSB to przedmioty do ogarnięcia dla każdego (mówię to ze 100% przekonaniem). Warunkiem jest poświęcenie na naukę odrobiny czasu, albowiem bez tego ani rusz. Mam nadzieje, że zamieszczane materiały pomogą Ci w tym lepiej niż podręczniki czy hardcorowi prowadzący.